Ejercicio 11.
Encontrar todas las funciones tales que
(OME-fase local, 2005)
Solución
Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas y basta despejar para acabar. Resulta
Ejercicio 12.
Sea un entero no negativo. Demostrar que la ecuación
tiene solo soluciones enteras y determinarlas. ( representa el n-ésimo número de Fibonacci, definido por , y, para , )
(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)
Solución
Los divisores de son posibles soluciones enteras de la ecuación. Si probamos con , obtenemos que es una solución de la ecuación, y es entera dado que es entero para todo como se puede ver fácilmente por inducción. Además, la parte izquierda de la ecuación se factoriza como:
Entonces las otras soluciones de la ecuación son las soluciones de la ecuación bicuadrada . Si resolvemos esta última ecuación para los primeros valores de , vemos que una de las soluciones positivas parece ser . Comprobamos que es una de las soluciones positivas para todo .
Para ello, obtenemos una expresión explícita para : La ecuación de recurrencia tiene como ecuación característica , con soluciones , así que la solución general de la recurrencia es . , es la única solución de la recurrencia con y , por tanto , y entonces y , por lo que
Ahora sustituimos este último valor en la ecuación bicuadrada:
Entonces, como la ecuación es bicuadrada, se cumple que , son dos soluciones enteras de la ecuación.
La otra solución positiva de la ecuación bicuadrada, llamémosla , parece ser la solución de la recurrencia de Fibonacci , con las condiciones iniciales y . Buscamos una expresión explícita para :
, y entonces y ,
Ahora sustituimos este último valor en la ecuación bicuadrada para comprobar que la satisface:
Por tanto, las otras soluciones de la ecuación son y , que son enteras dado que es entera, como puede verse fácilmente por inducción.
Observación
El número definido en la solución es el conocido como n-ésimo número de Lucas
Ejercicio 13.
Determinar para qué valores enteros del parámetro existen soluciones enteras de la ecuación
(Propuesto en La Gaceta de la R. S. M. E.- Problema 66)
Solución
La ecuación se puede escribir como , ecuación de Fermat de grado 3, luego sólo tiene las soluciones enteras triviales y , imposible, ó y , luego es el único valor entero para el que la ecuación tiene solución entera.
Observación
No se puede dar la solución trivial , ya que entonces . Se dará esta solución racional para , valor hallado antes; es por tanto el único valor racional para el que la ecuación tiene solución racional.
Ejercicio 14.
Resolver en los enteros positivos la ecuación
(Propuesto en
Solución
La ecuación es equivalente a , luego una solución con naturales es una forma de expresar 15 como el producto de 2 números naturales, ya que si , tenemos que y , por lo que, al ser el producto positivo, se cumple que .
Como , será , luego las únicas opciones son:
, , ,
Observaciones
1) Como la ecuación también es equivalente a , el resultado nos dice que sólo hay 2 valores de tales que divida a , que son , para el que los 2 polinomios valen 5, y , para el que el primer polinomio vale 15 y el segundo 60
2) Si buscamos todas las soluciones enteras a la ecuación, tendríamos también:
, , , , , ,
, , , , ,
Ejercicio 15.
Probar que, si es convergente y existe , entonces
Solución
Si , entonces para suficientemente pequeño tal que , tenemos que existe un número tal que, para , se cumple que , y entonces , por lo que , contradicción con que es convergente. De forma análoga podemos probar que no puede ser negativo.
Ejercicio 16.
Probar ó buscar contraejemplos para las siguientes proposiciones:
a) Sea una función continua y tal que en para algún , y con . Entonces, existe
b) Sea una función continua y tal que en para algún , y con . Entonces, existe
c) Sea una función derivable y creciente en para algún , y con una asíntota horizontal en . Entonces, existe
d) Sea una función derivable y estrictamente creciente en para algún , y con una asíntota horizontal en . Entonces, existe
Solución
a) Es falso: Si consideramos la función:
para , , es una función bien definida,
dado que los intervalos no se solapan: , lo que se cumple para
Tenemos también que y es continua en ( es "unión de triángulos" definidos en y de altura 1):
)
Además,
Pero no existe, dado que , y
b) Es falso: Si consideramos la función:
para , , Tenemos que y es continua en , ya que es "unión" de segmentos uniendo puntos con segunda coordenada positiva:
Calculamos las áreas debajo de los tres segmentos definiendo :
El área debajo del primer ó el segundo segmento es , y el área debajo del tercer segmento es
, por lo que
, ya que todos los denominadores tienen grado al menos dos
y los numeradores son constantes.
Pero no existe, dado que , y
c) Es falso: Si consideramos la función , para la función del apartado a), tenemos que es derivable dado que es continua, y , por lo que es creciente, y , luego tiene una asíntota horizontal en , pero, al ser , el no existe.
d) Es falso: Si consideramos la función: , para la función del apartado b), tenemos que es derivable dado que es continua, y , por lo que es estrictamente creciente, y , luego tiene una asíntota horizontal en , pero, al ser , el no existe.
Observación
F se aproxima a la asíntota horizontal con infinitos cambios de convexidad:
Ejercicio 17.
Sea una función tal que y . Probar que
(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)
Solución
Vemos primero que existe una función cumpliendo las condiciones del enunciado.
Para ver esto, definimos primero inductivamente, para todo , una función en tal que para , si ,
Para , como es continua y Lipschitziana respecto a en (, y esta última función es acotada en R, dado que es continua y ), existe una solución de
Supongamos que hemos definido en con las condiciones requeridas, y consideramos ahora el problema de Cauchy , con .
Como g es también continua y Lipschitziana respecto a en (, y esta última función es acotada en R, dado que es continua y ), existe una solución del mencionado problema de Cauchy en , así que definimos como esta solución.
Entonces podemos definir como si .
Observamos que está bien definida, ya que , luego es continua en y, para , se cumple que
Para tenemos que
, luego tenemos también que
, para todo (para , sólo tenemos que tener en cuenta ). Además, se cumple que .
Vemos ahora que tiene límite: Como para , es estrictamente creciente en , así que tiene límite .
Integrando a los 2 lados de la ecuación inicial, tenemos que, para ,
(La desigualdad es porque es una función creciente, luego para , para ). Entonces tenemos que
.
Tomando límites, llegamos a
Ahora, consideramos la función .
Vemos que es estrictamente decreciente en :
.
Estudiar el signo de esta función para es equivalente a estudiar el signo de . Tenemos que
para , luego es estrictamente decreciente y
, por lo que para , y entonces , por lo que es estrictamente decreciente en , y entonces es estrictamente decreciente en , y entonces, dado que , tenemos que
, por lo que .
Ejercicio 18.
Resolver el problema de Cauchy , , para , funciones derivables y positivas en
Solución
, luego la solución general queda .
Como , tenemos que , luego la solución al problema es:
Observación
En el caso particular y , la ecuación es similar a la del problema anterior: . Según lo visto antes, la solución del problema de Cauchy es
, esto es,
En este caso, como para , tenemos que la solución es estrictamente decreciente, y su límite es : Si el límite fuera finito, tomando límites en los 2 lados de la última igualdad cuando , tendríamos , contradicción.
Ejercicio 19.
Sean números complejos. Prueba la desigualdad
(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)
Solución
Llamando , , , , y
, vemos que la desigualdad es equivalente a
. Pero la parte izquierda de la desigualdad es:
. Por tanto, la desigualdad es cierta.
Ejercicio 20.
Sean tres números complejos tales que . Demuestra que
(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)
Solución
Si sustituimos por en el determinante, obtenemos:
Ya que la suma de las tres filas es
Observación
Las filas del determinante cumplen la condición de los números, a+b+c=0