Ejercicio 21.
Evaluar , donde n es un entero positivo.
(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)
Solución
Aplicando el cambio de variable , tenemos:
, así que tenemos que resolver la segunda que no depende de n.
Para hacer la segunda integral, hacemos primero . Para ello, hacemos el cambio de variable , por lo que
(como , , por lo que , y entonces ).
Si hacemos ahora el cambio , tenemos que .
Las raíces de son , por lo que el denominador se descompone como , y entonces
Dando el valor , tenemos , dando el valor , tenemos , por lo que , y entonces
(ya que, como , , por lo que el numerador y el denominador son negativos y entonces el cociente es positivo, por lo que se puede quitar el valor absoluto).
Entonces, integrando por partes tenemos que
Para hallar esta última integral, llamamos y comprobamos que, si ponemos el origen de coordenadas en el punto medio del intervalo, es decir, en , es impar ó, lo que es lo mismo,
.
Esto implica que , por lo que
Y entonces
(La tercera igualdad es porque , , por lo que )
Para comprobar la igualdad , nos fijamos en que como vimos antes, por lo que
y entonces . Valorando en , tenemos que , por lo que .
Observaciones
1) es el valor medio del teorema de la media de en si cumple la condición anterior y es continua.
2) En general, se cumple que si cumple la condición anterior y es continua, ya que
, por lo que , y sustituyendo por 0 tenemos , y entonces .
3) Más en general, si una función continua cumple que
, para ciertos , para todo , entonces se cumple que : es el valor promedio integral, si
Ejercicio 22.
Demostrar que para , con
Solución
Como es un polinomio genérico mónico de grado con raíces negativas, el enunciado es equivalente a probar que:
, siendo un polinomio mónico de grado con raíces negativas ,
Aplicamos inducción respecto : Para , se cumple que , y entonces
Supongamos que el resultado es verdad para grado , sea , definida en el dominio:
. (La función está bien definida en , ya que para ).
Vamos a evaluar en sus puntos críticos:
,
, así que en los puntos críticos de en , si hay, tenemos que
(Inducción: es un polinomio mónico de grado con raíces negativas , dado que tiene raíces negativas, y, para , tenemos que
, porque : las raíces de están entre las raíces de )
En la frontera , tenemos . En la frontera , tenemos que , y entonces
Además,
Por lo que tenemos que
Luego tiene mínimo 0 en , por lo que para
Observación
Como no hemos usado en ningún momento que sean positivos, tenemos el siguiente enunciado paralelo al inicial, más general:
Sea un polinomio mónico de grado con raíces reales , entonces , para
Ejercicio 23.
Sea un polinomio mónico de grado con raíces reales , probar que para
Solución
En el problema anterior hemos visto que para
, lo que implica que la función es creciente en , y entonces , por lo que , y entonces (por lo que el primer coeficiente del polinomio es negativo si este polinomio no es el polinomio nulo)
Observaciones
1) Como consecuencia de este problema, un polinomio , con raíces negativas ,
debe satisfacer , es decir, . Un polinomio que no satisface esta desigualdad debe tener alguna raíz no negativa.
2) La desigualdad de la observación 1 lleva a , para
3) El recíproco de la observación 1 no es verdad, dado que satisface , pero tiene la raíz positiva 1.
4) Como otra consecuencia del problema, si para grande (si el coeficiente del primer término del polinomio es positivo), entonces tiene alguna raíz no real. Esto ocurre con , para el que
5) El recíproco de 4 tampoco es verdad, dado que , tiene las raíces no reales , pero no satisface para grande (el primer coeficiente de es , negativo).
Ejercicio 24.
Para todos los enteros , ( positivo), determinar
(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)
Solución
Tenemos que , luego
Para evaluar , observamos que, para par y ,
Entonces, como (), tenemos que , , es raíz del polinomio
Dado que es una función par, las otras raíces del polinomio son , con , luego tenemos que
Esto implica que , dado que : sabemos que
,
Luego sumando las dos igualdades, obtenemos , y entonces
Ahora, para tenemos que , con , luego
, y entonces
Para impar y ,
Como , (), tenemos que , , es raíz del polinomio
Dado que es una función par, las otras raíces del polinomio son , , por lo que
Esto implica que .
Ahora, como y, para , tenemos que ,
con , también en este caso:
, y entonces
Observación
Sustituyendo por en la expresión de , obtenemos , sustituyendo por en la expresión de
, obtenemos
Ejercicio 25.
Evalúa para par
Solución
Vemos primero la relación entre , para par:
Si , toma todos los números pares de
donde toma todos los números impares desde hasta , luego
Ahora, tenemos que:
, por lo que
(Es claro que para n impar , ya que para , )
Observaciones
1) Para obtener , observamos que, para , , con , luego
, y entonces , luego cambiando por , obtenemos
2) Para obtener , vemos que
Por tanto, (¡Igual que !)
En la primera igualdad hemos aplicado la expresión para , que se obtenía en la observación al problema anterior, y en la última, la expresión que se obtenía en la solución del problema anterior para , cambiando por
Ejercicio 26.
Supongamos que el polinomio puede ser factorizado como , donde son números reales positivos, es un número par. Prueba que
(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)
Solución
Como es un número par, el enunciado es equivalente a
, para números positivos .
Si llamamos (el subíndice es porque tenemos números positivos), la desigualdad es
. Vamos a probar por inducción que esta desigualdad es cierta para todo :
Para , tenemos que , y esta última desigualdad es cierta (de hecho, el resultado es verdad en el caso para todos los números reales . La igualdad se verifica si y solo si ).
Supongamos que el resultado es verdad para , para podemos reescribir la desigualdad como
Como son números positivos, es , luego la desigualdad queda
. El lado izquierdo de la desigualdad es un polinomio de segundo grado en , llamémosle , por tanto una parábola. Si la coordenada de su vértice es , es decir, si , entonces la desigualdad se verifica para , dado que es estrictamente creciente en (el coeficiente de es ), y
La condición se verifica si . Si la coordenada del vértice es , es decir, si , tenemos que ver que no tiene dos raíces reales distintas, lo que implica que para todo número real . Por tanto, tenemos que ver que el discriminante es :
. Y esto se cumple si:
Pero la primera desigualdad es cierta (inducción), y la segunda también dado que
Observaciones
1) Para impar, tenemos que
, . Por tanto, como hemos visto que
para todo , tenemos la siguiente afirmación análoga a la inicial:
Supongamos que el polinomio puede ser factorizado como , donde son números reales positivos, es un número impar. Entonces
2) Vemos que la igualdad en estas afirmaciones se verifica si y sólo si . Para verlo, probamos que la igualdad en
, se verifica si y sólo si , para todo . Aplicamos inducción respecto a :
Para , lo vimos en la resolución del problema.
Supongamos que el resultado es cierto para . Para , como se ve en la solución del problema, la única forma de obtener la igualdad es si
.
Esto sólo pasa si (lo que no puede ser, ya que vimos que ), ó si .
Pero por inducción, esta última igualdad se verifica si y sólo si , y entonces la igualdad inicial queda:
, con solución:
, y entonces
Ejercicio 27.
Encontrar el máximo común divisor de los números , , …,
(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)
Solución
Vemos primero que, si un número primo divide a , , …, , entonces divide a luego . (La igualdad fue probada en la solución al problema 24)
Si expresamos ahora como , podemos ver que divide a para :
Como divide a , basta con probar que la potencia de 2 en es mayor ó igual que la potencia de 2 en .
Pero como las potencias de 2 las dan los factores pares, tenemos que la potencia de 2 en es igual a la potencia de 2 en
y la potencia de 2 en es igual a la potencia de 2 en . Entonces, si simplificamos por , tenemos que lo que hay que probar es que la potencia de 2 en es mayor ó igual que la potencia de 2 en .
Pero, como , tenemos que , luego divide a , y entonces la potencia de 2 en es mayor ó igual que la potencia de 2 en .
Pero, para , tenemos que no divide a , luego el máximo común divisor de , , …, es
Observación
Se sabe que divide a ( es el máximo común divisor de ). Eligiendo , este resultado implica el que hemos demostrado en la solución: Si divide a , entonces divide a
Ejercicio 28.
Encontrar una fórmula para la potencia de 2 en la descomposición en factores primos de () y para la potencia de 2 en la descomposición en factores primos de
Solución
Primero encontramos una fórmula para la potencia de 2 en la descomposición en factores primos de :
Los factores pares de son de la forma: , con , donde es la parte entera (ya que ). Estos aportan al exponente de 2 en la descomposición en factores primos de
Contamos cuántos factores hay de este tipo para un fijo:
Como , tenemos que , por lo que , y entonces el número de factores es
Por tanto, la potencia de 2 en es
Buscamos ahora una fórmula para la potencia de 2 en :
Los factores pares de son de la forma: , con (ya que ). Estos aportan al exponente de 2 en la descomposición en factores primos de
Contamos cuántos factores hay de este tipo para un fijo:
Como , tenemos que , por lo que
si , si .
Esta última condición sólo ocurre cuando , es decir, cuando , para
Como , tenemos que , luego , y entonces el número de factores es
, si 2 no divide a , si
Por tanto, la potencia de 2 en es
, si 2 no divide a , , si
Observación
Como divide a como vimos antes, tenemos que, para todo , con , se cumple que
, donde es el exponente de 2 en la descomposición en factores primos de
Ejercicio 29.
Sea n un entero positivo. Prueba la desigualdad
(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)
Solución
Aplicamos inducción respecto a n: para n=1, la desigualdad es , luego es verdad.
Supongamos que es cierta para n, para n+1 tenemos (hemos aplicado la hipótesis de inducción en la desigualdad), luego acabamos si probamos que , ó lo que es lo mismo:
, es decir, .
Por tanto, si consideramos la función real , basta con probar que si x≥1 para probar la anterior desigualdad.
Pero tenemos que
El denominador de esta última expresión es positivo si x≥1. Desarrollando el numerador, obtenemos .
Vamos a ver que si x≥1:
Se cumple que si x≥1, luego P es estrictamente decreciente cuando x≥1, siendo , luego para x≥1. Por tanto, si x≥1, luego f es estrictamente decreciente cuando x≥1, y . Esto implica que si x≥1, como deseábamos.
Ejercicio 30.
Sea , y sea una función tal que y es acotada en . Sea la sucesión , determinar su límite.
(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)
Solución
Aplicando el teorema de Taylor a en , con (), obtenemos que , con . Entonces tenemos que , donde es una cota superior de .
Por tanto, para tenemos que , es decir:
Pero como , tenemos que cuando , por lo que las cotas inferiores y superiores de halladas tienden a , y entonces (regla de Sandwich).