Ejercicio 31.

Sea  un número  real. Encontrar todas las funciones  continuas  tales que

(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)

Solución

Como  es continua en , tenemos que   es continua en , por lo que es derivable en  por el teorema fundamental del Cálculo, y entonces  es derivable en  (ya que es igual a  ).

Por tanto, si derivamos a los dos lados de , llegamos a   y entonces , por lo que

Pero si sustituimos  por 0 en la ecuación inicial, tenemos que . Sustituyendo ahora  por 0 en las funciones obtenidas, tenemos que  , luego la solución es .

 

Ejercicio 32. 

Sean , dos polinomios primos relativos con raíces , …,  y  , …,  respectivamente. Probar que   es un entero y determinar su valor

(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)

 

Solución

Como ,  son primos relativos no tienen ninguna raíz común, por lo que  , y entonces la expresión  está bien definida.

Si factorizamos ahora , , obtenemos  , , luego

(El signo   es porque hay  factores de la forma : Tenemos   factores ,..., , ..., y tenemos  factores ,..., )

Observación

El resultado se puede generalizar a:

Sean , dos polinomios con raíces , …,  y  , …,  respectivamente, y sin raíces comunes. Entonces     

 

Ejercicio 33.

Sea  la descomposición en factores primos de un natural  tal que la suma de sus divisores es . Probar  que 

(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)

 

Solución

Si llamamos  a la suma de los divisores de , se sabe que:

, luego se puede escribir la condición como

Entonces, si multiplicamos por  a los dos lados de la primera  desigualdad que hay que probar, ésta queda:

Esto equivale a , es decir,

Pero esta última desigualdad es cierta al ser  (ya que ).

Si multiplicamos ahora por  a los dos lados de la segunda  desigualdad que hay que probar, ésta queda:

.

Esto equivale a . Pero esta última desigualdad es cierta al ser

Observaciones

1) El menor número que cumple la condición del enunciado es 154345556085770649600

2) Sólo se conocen 245 números que cumplan dicha condición. Se conjetura que no hay más.

 

Ejercicio 34.

Sean  matrices del mismo orden. Probar que

(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)

 

Solución

Suponemos que  son matrices cuadradas de orden .

Entonces, haciendo , donde  es la i-ésima columna de , llegamos a .

Si hacemos ahora , donde  es la i-ésima fila de la última matriz, obtenemos , donde  es la matriz nula de orden .

Por tanto 

 

Ejercicio 35.

Sea  una función continua. Calcular  

(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)

   

Solución

Como   es una función continua, para todo  hay un polinomio  tal que  para todo  (teorema de Stone-Weierstrass). Pero como  es un polinomio, su serie de Fourier en  converge uniformemente a , por lo que existe un número  tal que  para todo , donde  es la  truncación de la serie de Fourier de .

Por tanto,  para todo , y entonces

 (hemos  aplicado la identidad  en las dos desigualdades).

Tenemos por tanto que:

, es decir:

. Esto es equivalente a:

Ahora, tenemos que , donde  es la unidad imaginaria. Entonces, como   cuando , llegamos a:

 cuando  para todo .

Pero al ser , tenemos que ,  cuando  para todo , y así:

 cuando . Esto implica que  cuando  para todo , y así:

  cuando .

Tenemos por tanto que , por lo que  para todo  y entonces:

. De la misma forma se puede ver que .

Como consecuencia,  

 

Ejercicio 36.

Sea  el n-ésimo número de Fibonacci. Probar que  no puede ser expresado como producto de dos números de Fibonacci mayores que 1

(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)

   

Solución

Vemos primero que  si  y , suponiendo que  es el  mínimo entre :

Para verlo, expresamos  de forma explícita como , donde

Por tanto, si  tenemos que

si y sólo si

Pero el lado izquierdo de esta desigualdad es mayor ó igual que

   

 

(ya que

y todos los exponentes de  en el lado derecho de la desigualdad son mayores que ).

Ahora,  es positivo si y sólo si  (ya que ).

Por tanto, si  ,  en este caso.

Si  tenemos que

si y sólo si

Pero el lado izquierdo de esta desigualdad es mayor ó igual que

 (ya que

 y todos los exponentes de  en el lado derecho de la desigualdad son mayores ó iguales que ). Ahora,  es positivo si y sólo si .

Por tanto, si  ,  en este caso. Pero para  tenemos que , y por tanto . Entonces, si , como , llegamos a que , contradicción con que  es estrictamente creciente si . Para  tenemos que , y por tanto  ó . Entonces, si , como , llegamos a que , contradicción con que  es creciente. Si , como , llegamos a que  y entonces , contradicción con que  es estrictamente creciente si . Por tanto,  si .

Si   tenemos que

si y sólo si

Pero el lado izquierdo de esta desigualdad es mayor ó igual que

 (ya que

y todos los exponentes de  en el lado derecho de la desigualdad son mayores ó iguales que ). Ahora,  es positivo si y sólo si . Por tanto, si  ,  en este caso.

Entonces, si  con , será , y por tanto . Podemos además suponer sin pérdida de generalidad que . Por lo visto anteriormente, esto implica que , luego , contradicción. Por consiguiente,   no puede ser expresado como producto de dos números de Fibonacci , con    

 

Ejercicio 37.

Calcular el  

(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)

   

Solución

Se cumple que

Vemos ahora que  para todo . Para ver esto, probamos primero que:

 para , donde  es la parte entera. Esta desigualdad equivale a:

, es decir, .

Pero como la función   es creciente si , tenemos que el mínimo de  con  se alcanza para , por lo que:

 (al ser )

Esto implica que:

 si  es par, y:

 si  es impar, por lo que

 en cualquier caso.

Vemos ahora que  para . Esta desigualdad equivale a:

, es decir:

. Pero como el máximo de la función   se alcanza en , tenemos que

 como queríamos.

Esto implica que:

 si  es par, y:

 si  es impar, por lo que

 en cualquier caso.

Tenemos entonces que:

, con

(hemos aplicado la equivalencia  si  en la primera igualdad).

Por tanto,   (Sandwich), con lo que

 

Ejercicio 38.

Sea n un entero positivo. Probar que:

, donde  es el n número de Pell, definido por ,  y para ,

(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)

   

Solución

Tenemos que  para todo n, como se puede ver fácilmente por inducción, por lo que , .

Tenemos además que ,

(En la primera  desigualdad hemos aplicado que   es una sucesión creciente: Para , , y ).

Tenemos por tanto  y  para todo n. De estas últimas desigualdades obtenemos que , por lo que basta con probar que . Para ello, es suficiente con probar que  para todo .

Pero en  tenemos que  , con .

Tenemos también que , por lo que el máximo de  en  es  y entonces:

 como queríamos.

 

Ejercicio 39.

Sea n un número natural y f una función convexa. Probar que

(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)

       

Solución

La desigualdad es equivalente a . El lado izquierdo de esta desigualdad es una combinación lineal de valores de f.

Veamos que la suma de los coeficientes es 1, es decir, que , o equivalentemente, que : 

(Por cada forma de tomar k elementos de los n primeros, hay  formas de tomar  elementos de los n últimos, luego el número de formas de tomar k elementos de los n primeros y  elementos de los n últimos es: . Esto nos lleva a la tercera igualdad. La identidad  implica la última igualdad).

Por tanto, como f es convexa, podemos aplicar la desigualdad de Jensen y entonces .

Por otro lado, es conocida la igualdad en números combinatorios . Vamos a ver que :

_, siendo esta última igualdad cierta para todo n.

Por tanto tenemos que , como queríamos.

 

Ejercicio 40.

Probar la igualdad

       

Solución

Podemos expresar la suma como:

 

Por tanto, si sumamos por columnas obtenemos

Esto es igual a . Teniendo en cuenta que  como vimos en el problema previo, tenemos que esta última expresión es igual a . Haciendo el cambio de variable  y aplicando la identidad , vemos que esta última expresión es igual a .

Tenemos por tanto la siguiente igualdad: , que implica , como deseábamos.