Ejercicio 41
Supongamos que todo elemento x en un anillo finito R es idempotente, probar que R tiene identidad multiplicativa. (Propuesto por José Luís Díaz Barrero)
Solución
Como R es finito, lo podemos expresar como . Supongamos que no tiene identidad multiplicativa, entonces para todo i, existe un tal que . Pero, como es idempotente, tenemos que , por lo que la función no es inyectiva, y entonces es un divisor del 0:
En otro caso, , por lo que es inyectiva, contradicción. Por tanto, todos los elementos de son divisores del 0.
Por otro lado, tenemos que para todo ,
(La última igualdad es porque es idempotente). Pero como es también idempotente, tenemos que . Esto implica que , luego tiene característica 2, y entonces todo subanillo no trivial de tiene cardinal par.
Ahora, para todo consideramos el siguiente conjunto: . Como vimos antes, es un subanillo no trivial de , por lo que tiene cardinal par. Entonces, si definimos la relación S sobre , si , tenemos que existe un número impar de elementos en tales que , por lo que los vértices del grafo asociado a tienen grado impar, pero esto es imposible ya que el grafo tiene un número impar de vértices. Por tanto, tiene una identidad multiplicativa. (El número de vértices de grado impar en un grafo no dirigido ha de ser par. Obsérvese que el grafo de es no dirigido ya que es simétrica, porque es abeliano: para todo i, j, y entonces . Por tanto, )
Ejercicio 42.
Sean , matrices cuadradas de orden n. Probar que , donde las matrices , se obtienen de , intercambiando sus respectivas primera y k-ésima columna.
(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)
Solución
Tenemos que , , por lo que , , y entonces
Por otro lado, si tenemos que , (ya que , se obtienen de , intercambiando dos columnas), por lo que:
, y entonces , como queríamos ver.
Ejercicio 43.
Sea una sucesión de términos positivos,
a) Demostrar que
b) Demostrar que si es divergente, entonces es divergente (indicación: utilizar el apartado a)
(Propuesto en la Universidad Carlos III, titulación de ingeniería de telecomunicaciones)
Solución
a) Como es una sucesión de términos positivos, es creciente en , por lo que
b) Si llamamos a la sucesión de sumas parciales de , la parte izquierda de la desigualdad demostrada en a) es . Entonces, si convergiera a , sería , por lo que . Pero entonces aplicando la desigualdad demostrada en a) tenemos que , contradicción (en la segunda igualdad hemos utilizado que es divergente, por lo que . Por tanto, al ser una serie de términos positivos no convergente, será divergente.