Ejercicio 1
Sea y supongamos que existe un ,tal que
para todo . ¿Es cierto entonces que para todo ?
(Definición de ; Una función pertenece a si su derivada es continua en )
(30/7/1994-Problema 1)
Solución
Supongamos que no fuera cierto, esto es, que existiera un cierto para el cual .
Subdividimos el intervalo en intervalos de la forma , con , siendo la parte entera. Entonces habrá un mínimo con tal que y en el intervalo existe un tal que. Por simetría en el razonamiento supongamos que . Puesto que estamos trabajando con una función continua en un intervalo cerrado y acotado, , ó si el mínimo es , alcanzará el máximo absoluto, y además, sabemos que este máximo es estrictamente mayor que 0. Sea y el mínimo punto del intervalo en el que alcanza su máximo, que existirá porque es continua.
Entonces por el teorema de Lagrange tendremos que existe un tal que , contradicción, por lo que para todo .
a) Prueba que alcanza su mínimo y su máximo absoluto.
b) Determina todos los puntos tales que y determina para cuáles de ellos alcanza un extremo relativo o absoluto.
(30/7/1994-Problema 2)
Solución
a) La función es una función diferenciable, y por tanto continua, en el plano.
Puesto que f es una función continua, en un círculo centrado en el origen y de radio 1 alcanzará su máximo y su mínimo absoluto. Demostremos que en el complementario del círculo la función está acotada entre [-1/e, 1/e]:
Es evidente, ya que , al ser . Por tanto, como en el círculo de radio 1 se alcanzan los valores f(1,0)=1/e, f(0,-1)=-1/e, la función alcanza su máximo y mínimo absoluto.
b) Calculemos ahora sus derivadas parciales:
.
Es fácil ver que éstas son iguales a 0 si y sólo si:
.
Basta con sustituir y encontrar el valor de f en cada punto para ver que:
f(1,0)=f(-1,0)=1/e son máximos absolutos y que f(0,1)=f(0,-1)=-1/e son mínimos absolutos, ya que f(0,0)=0. El punto (0,0) se comprueba con la matriz Hessiana que es un punto de silla, esto es no es máximo ni mínimo local ni absoluto.
Otra forma de hacerlo:
Vimos en la primera solución que (1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1) y (0,0) son los puntos críticos de f. Con la matriz Hessiana se puede ver que en (1,0), (-1,0) se alcanzan máximos relativos, en (0,1), (0,-1) se alcanzan mínimos relativos y (0,0) es un punto de silla. Vamos a ver que en (1,0), (-1,0) f. alcanza su máximo absoluto, y que en (0,1), (0,-1) f alcanza su mínimo absoluto, por lo que la función alcanza su máximo y mínimo absoluto:
Para ello, hay que ver que , y que .
La primera desigualdad es equivalente a . Entonces, como , basta con ver que . Si hacemos el cambio de variable , esta última desigualdad queda , luego basta con ver que para todo . Pero si , si , por lo que tiene el mínimo global en el 1, y entonces , como queríamos.
La segunda desigualdad es equivalente a . Entonces, como , basta con ver que , es decir, que , lo que ya hemos visto para demostrar la primera desigualdad.
(1997-Primer día, Problema 1)
Solución
es una suma de Riemann de en , por lo que:
(En la última igualdad hemos aplicado la regla de L’Hopital a la función )
Supongamos que es convergente. ¿Son las siguientes sumas también convergentes?
a)
b)
(1997-Primer día, Problema 2)
Solución
a) Sea y , donde es la sucesión que debemos sumar.
Entonces para . (Ya que entre los términos y , se suman todos los términos entre y )
Como converge, donde , y como , con
, al ser convergente, podemos ver que
, ya que
Entonces la suma del apartado a) es convergente.
Otra forma de verlo es: Como y converge, por lo que , y como , cuando , se cumple que:
, por lo que
b) No se cumple necesariamente: la suma con
converge por el criterio de Leibniz y la serie del apartado b) no converge.
Otra forma de verlo: Si agrupamos los términos con – y los que tienen +, la serie del apartado b) se puede poner como . Operando ahora impares con pares, queda que esto último es igual a:
. Esto es una serie de términos negativos, pero si consideramos la serie correspondiente de términos positivos, queda que si , por lo que:
, serie divergente, por lo que por el criterio de comparación es divergente, y entonces la serie que nos dan es divergente.
Sea M una matriz invertible de dimensión , representada, en bloques de la siguiente forma: , y
Demuestra que .
(1997-Segundo día, Problema 2)
Solución
a) Sea la aplicación lineal del espacio de matrices con entradas reales, esto es:
(1) para todo . Prueba que existe una única matriz tal que para toda
b) Supongamos además de (1) que
(2) para todas . Prueba que existe tal que para toda
(1997-Segundo día, Problema 4)
Solución
a) Primero probaremos que si C existe, entonces C es única. Después probaremos que la matriz existe.
i) C es única:
Sea una matriz cuyo elemento vale 1, y con todos los demás elementos 0
Supongamos que tenemos distintas matrices tales que Entonces:
Por tanto: . Esto da una contradicción, así que hemos probado que C es única.
ii) C existe:
Sea, con . Como es lineal:
b) Sabemos que . Además, tenemos que
. Entonces:
, por lo que podemos concluir que:
, si , y si , luego y .
Otra forma de acabar: Como y para toda , tomando tenemos que
, para todo , luego los elementos de la diagonal de son iguales. Por otro lado, tomando , tenemos que
, para todo , luego los elementos de fuera de la diagonal principal son 0 y
a) Sea una función continua. Decimos que “cruza el eje” en si y en cualquier entorno de existen con .
Da un ejemplo de una función continua que “cruce el eje” infinitas veces.
(1997-Segundo día, Problema 6)
Solución
es continua ya que es continua en (0,1] y
ya que está acotada, y es fácil ver que cruza el eje infinitas veces, cada vez que , con : Si , se cumple que . Además, para los tales que para algún , es decir, los tales que , se cumple que , acercándose esos intervalos a cuando tiende a infinito. Por otro lado, para los tales que para algún , es decir, los tales que , se cumple que , acercándose también esos intervalos a cuando tiende a infinito. Por tanto, en cualquier entorno de habrá puntos en los que la función es positiva y otros en los que es negativa, como queríamos.
La función es dos veces diferenciable con continuidad y satisface que . Prueba que existe un número real para el que
(1998-Primer día, Problema 4)
Solución
Sea . Como es dos veces diferenciable con continuidad, es continua.
En [0,1] la función alcanza un máximo y un mínimo.
Sea el punto donde se alcanza el máximo. Entonces si , se cumple que . (Cabría la posibilidad también de que, pero en ese caso , como queríamos)
Sea un punto donde se alcanza el mínimo. Entonces si , se cumple que . (Cabe la posibilidad también de que , pero en ese caso , como queríamos)
Como dijimos antes, g(x) es una función continua en [0,1], y g(x)<
Notas:
1) No se han considerado los casos en que el máximo se alcanza en 0 ó el mínimo en 1. En esos casos es importante la condición de los valores de en los extremos, ya que, si quitamos por ejemplo la condición , puede haber contraejemplos, como la función , que tiene el máximo en , el mínimo en , cumple las otras dos condiciones , , pero
. Habrá que ver entonces cuando no hay máximo ó mínimo relativo dentro del intervalo si también se cumple cuando se dan las condiciones:
2) El problema propuesto en
Sea P un polinomio de grado n que tiene sólo raíces reales y coeficientes reales.
a) Prueba que para todo real x, se tiene la siguiente desigualdad:
b) Halla los casos en los que se alcanza la igualdad.
(1998-Primer día, Problema 5)
Solución
Sea . Entonces será
, y es
. Entonces la desigualdad se puede escribir como:
Ahora tenemos dos secuencias , así que si aplicamos la desigualdad de Chebishev obtenemos:
, como queríamos.
La igualdad se alcanza si y sólo si , esto es si:
, .
Nota:
La desigualdad de Chebishev es una consecuencia inmediata de la desigualdad de Reagrupamiento
Sea una función continua con la propiedad de que para todo x e y en el intervalo,
a) Demuestra que
b) Encuentra una función que satisfaga la condición para la que se alcance la igualdad.
(1998-Primer día, Problema 6)
Solución del apartado b)
La función , , efectivamente cumple las condiciones: si consideramos la función , con , tenemos que para cualquier el máximo absoluto de esa función es 1, ya que , teniéndose que:
, ,
Se cumple además que , al ser el área de un cuarto de círculo de radio 1