Problemas de la International Mathematical Competition - del 1 al 10


 Ejercicio 1

 Sea  y supongamos que existe un ,tal que

 

para todo ¿Es cierto entonces que  para todo ?

(Definición de Una función pertenece a  si su derivada es continua en  )

(30/7/1994-Problema 1)

 

Solución

Supongamos que no fuera cierto, esto es, que existiera un cierto  para el cual .

Subdividimos el intervalo en intervalos de la forma , con , siendo  la parte entera. Entonces habrá un mínimo  con   tal que  y en el intervalo  existe un  tal que. Por simetría en el razonamiento supongamos que . Puesto que estamos trabajando con una función continua en un intervalo cerrado y acotado, , ó  si el mínimo  es ,    alcanzará el máximo absoluto, y además, sabemos que este máximo es estrictamente mayor que 0. Sea   el mínimo punto del intervalo  en el que  alcanza su máximo, que existirá porque  es continua.

Entonces por el teorema de Lagrange tendremos que existe un  tal que , contradicción, por lo que  para todo .

 

 Ejercicio 2

 Sea  una función dada por 

a) Prueba que  alcanza su mínimo y su máximo absoluto.

b) Determina todos los puntos  tales que  y determina para cuáles de ellos alcanza un extremo relativo o absoluto.

(30/7/1994-Problema 2)

 

Solución

a) La función es una función diferenciable, y por tanto continua, en el plano.

Puesto que f es una función continua, en un círculo centrado en el origen y de radio 1 alcanzará su máximo y su mínimo absoluto. Demostremos que en el complementario del círculo la función está acotada entre [-1/e, 1/e]:

Es evidente, ya que , al ser   Por tanto, como en el círculo de radio 1 se alcanzan los valores f(1,0)=1/e, f(0,-1)=-1/e, la función alcanza su máximo y mínimo absoluto.

b) Calculemos ahora sus derivadas parciales:

.

Es fácil ver que éstas son iguales a 0 si y sólo si:

.

Basta con sustituir y encontrar el valor de f en cada punto para ver que:

f(1,0)=f(-1,0)=1/e son máximos  absolutos y que f(0,1)=f(0,-1)=-1/e  son mínimos absolutos, ya que f(0,0)=0. El punto (0,0) se comprueba con la matriz Hessiana que es un punto de silla, esto es no es máximo ni mínimo local ni absoluto.

Otra forma de hacerlo:

Vimos en la primera solución que (1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1) y (0,0) son los puntos críticos de f. Con la matriz Hessiana se puede ver que en (1,0), (-1,0) se alcanzan máximos relativos, en (0,1), (0,-1) se alcanzan mínimos relativos y (0,0) es un punto de silla. Vamos a ver que en (1,0), (-1,0)  f. alcanza su máximo absoluto, y que en (0,1), (0,-1)  alcanza su mínimo absoluto, por lo que la función alcanza su máximo y mínimo absoluto:

Para ello, hay que ver que  , y que  .

La primera desigualdad es equivalente a . Entonces, como , basta con ver que . Si hacemos el cambio de variable , esta última desigualdad queda , luego basta con ver que  para todo . Pero  si  si , por lo que  tiene el mínimo global en el 1, y entonces , como queríamos.

La segunda desigualdad es equivalente a . Entonces, como , basta con ver que , es decir, que , lo que ya hemos visto para demostrar la primera desigualdad.

 

 Ejercicio 3

Sea  una secuencia de números reales positivos tales que . Halla  donde ln denota el logaritmo neperiano.

(1997-Primer día, Problema 1)

 

Solución

 es una suma de Riemann de  en , por lo que:

(En la última igualdad hemos aplicado la regla de L’Hopital a la función )

 

 Ejercicio 4 

Supongamos que  es convergente. ¿Son las siguientes sumas también convergentes?

a)      

b)      

(1997-Primer día, Problema 2)

 

Solución

a) Sea  , donde  es la sucesión que debemos sumar.

Entonces  para . (Ya que entre los términos  , se suman todos los términos entre   )

Como  converge, donde , y como , con

, al ser  convergente, podemos ver que

, ya que 

Entonces la suma del apartado a) es convergente.

Otra forma de verlo es: Como   converge, por lo que , y como  cuando , se cumple que:

, por lo que

b) No se cumple necesariamente: la suma  con 

 

converge por el criterio de Leibniz y la serie del apartado b) no converge.

Otra forma de verlo: Si agrupamos los términos con – y los que tienen +, la serie del apartado b) se puede poner como . Operando ahora impares con pares, queda que esto último es igual a:

. Esto es una serie de términos negativos, pero si consideramos la serie correspondiente de términos positivos, queda que  si , por lo que:

, serie divergente, por lo que por el criterio de comparación  es divergente, y entonces la serie que nos dan es divergente.

 

 Ejercicio 5

Sea M una matriz invertible de dimensión , representada, en bloques de la siguiente forma: , y 

Demuestra que .

(1997-Segundo día, Problema 2)

 

Solución

 

 

 Ejercicio 6

a) Sea la aplicación lineal  del espacio de matrices  con entradas reales, esto es:

(1)        para todo . Prueba que existe una única matriz  tal que para toda 

b) Supongamos además de (1) que

(2)        para todas . Prueba que existe  tal que  para toda 

(1997-Segundo día, Problema 4)

 

Solución

a) Primero probaremos que si C existe, entonces C es única. Después probaremos que la matriz  existe.

i) C es única:

Sea  una matriz cuyo elemento  vale 1, y con todos los demás elementos 0

Supongamos que tenemos  distintas matrices tales que  Entonces:

Por tanto: . Esto da una contradicción, así que hemos probado que C es única.

ii) C existe:

Sea, con . Como  es lineal:

b) Sabemos que . Además, tenemos que

. Entonces:

, por lo que podemos concluir que:

, si , y   si , luego  .

Otra forma de acabar: Como  y para toda , tomando  tenemos que

, para todo , luego los elementos de la diagonal de  son iguales. Por otro lado, tomando , tenemos que

, para todo , luego los elementos de fuera de la diagonal principal son 0 y 

 

 Ejercicio 7

a) Sea  una función continua. Decimos que  “cruza el eje” en  si  y en cualquier entorno de  existen  con .

Da un ejemplo de una función continua que “cruce el eje” infinitas veces.

(1997-Segundo día, Problema 6)

 

Solución

 es continua ya que  es continua en (0,1] y

ya que está acotada, y es fácil ver que cruza el eje infinitas veces, cada vez que , con : Si , se cumple que . Además, para los  tales que  para algún , es decir, los  tales que , se cumple que , acercándose esos intervalos a  cuando  tiende a infinito. Por otro lado, para los  tales que  para algún , es decir, los  tales que , se cumple que , acercándose también esos intervalos a  cuando  tiende a infinito. Por tanto, en cualquier entorno de  habrá puntos en los que la función es positiva y otros en los que es negativa, como queríamos.

 

 

Ejercicio 8

La función  es dos veces diferenciable con continuidad y satisface que . Prueba que existe un número real  para el que 

(1998-Primer día, Problema 4)

Solución

Sea . Como  es dos veces diferenciable con continuidad,  es continua.

En [0,1] la función  alcanza un máximo y un mínimo.

Sea  el punto donde se alcanza el máximo. Entonces si , se cumple que (Cabría la posibilidad también de que, pero en ese caso , como queríamos)

Sea  un punto donde se alcanza el mínimo. Entonces si , se cumple que (Cabe la posibilidad también de que , pero en ese caso , como queríamos)

Como dijimos antes, g(x) es una función continua en [0,1], y g(x)<0, g(y)>0 para algunos . Si aplicamos el teorema de Bolzano, podemos asegurar que  existe.

Notas:

1) No se han considerado los casos en que el máximo se alcanza en 0 ó el mínimo en 1. En esos casos es importante la condición de los valores de  en los extremos, ya que, si quitamos por ejemplo la condición , puede haber contraejemplos, como la función , que tiene el máximo en , el mínimo en , cumple las otras dos condiciones , pero

. Habrá que ver entonces cuando no hay máximo ó mínimo relativo dentro del intervalo si también se cumple  cuando se dan las condiciones:

2) El problema propuesto en la IMC era en realidad más difícil que el enunciado aquí, ya que no se imponía que  fuera una función continua, sólo que existiera.

 

 Ejercicio 9

Sea P un polinomio de grado n que tiene sólo raíces reales y coeficientes reales.

a) Prueba que para todo real x, se tiene la siguiente desigualdad:

b) Halla los casos en los que se alcanza la igualdad.

(1998-Primer día, Problema 5)

Solución

Sea . Entonces  será

, y  es

. Entonces la desigualdad se puede escribir como:

Ahora tenemos dos secuencias , así que si aplicamos la desigualdad de Chebishev obtenemos:

, como queríamos.

La igualdad se alcanza si y sólo si , esto es si:

.

Nota:

La desigualdad de Chebishev es una consecuencia inmediata de la desigualdad de Reagrupamiento

 

 Ejercicio 10 

Sea  una función continua con la propiedad de que para todo x e y en el intervalo,

a) Demuestra que 

b) Encuentra una función que satisfaga la condición para la que se alcance la igualdad.

(1998-Primer día, Problema 6)

 

Solución del apartado b)

La función , efectivamente cumple las condiciones: si consideramos la función , con , tenemos que para cualquier  el máximo absoluto de esa función es 1, ya que , teniéndose que:

 Se cumple además que , al ser  el área de un cuarto de círculo de radio 1