Ejercicio 1
Sea y supongamos que existe un
,tal que
para todo . ¿Es cierto entonces que
para todo
?
(Definición de ; Una función pertenece a
si su derivada es continua en
)
(30/7/1994-Problema 1)
Solución
Supongamos que no fuera cierto, esto es, que existiera un cierto para el cual
.
Subdividimos el intervalo en intervalos de la forma
, con
, siendo
la parte entera. Entonces habrá un mínimo
con
tal que
y en el intervalo
existe un
tal que
. Por simetría en el razonamiento supongamos que
. Puesto que estamos trabajando con una función continua en un intervalo cerrado y acotado,
, ó
si el mínimo
es
, alcanzará el máximo absoluto, y además, sabemos que este máximo es estrictamente mayor que 0. Sea
y
el mínimo punto del intervalo
en el que
alcanza su máximo, que existirá porque
es continua.
Entonces por el teorema de Lagrange tendremos que existe un tal que
, contradicción, por lo que
para todo
.
una función dada por
a) Prueba que alcanza su mínimo y su máximo absoluto.
b) Determina todos los puntos tales que
y determina para cuáles de ellos
alcanza un extremo relativo o absoluto.
(30/7/1994-Problema 2)
Solución
a) La función es una función diferenciable, y por tanto continua, en el plano.
Puesto que f es una función continua, en un círculo centrado en el origen y de radio 1 alcanzará su máximo y su mínimo absoluto. Demostremos que en el complementario del círculo la función está acotada entre [-1/e, 1/e]:
Es evidente, ya que , al ser
. Por tanto, como en el círculo de radio 1 se alcanzan los valores f(1,0)=1/e, f(0,-1)=-1/e, la función alcanza su máximo y mínimo absoluto.
b) Calculemos ahora sus derivadas parciales:
.
Es fácil ver que éstas son iguales a 0 si y sólo si:
.
Basta con sustituir y encontrar el valor de f en cada punto para ver que:
f(1,0)=f(-1,0)=1/e son máximos absolutos y que f(0,1)=f(0,-1)=-1/e son mínimos absolutos, ya que f(0,0)=0. El punto (0,0) se comprueba con la matriz Hessiana que es un punto de silla, esto es no es máximo ni mínimo local ni absoluto.
Otra forma de hacerlo:
Vimos en la primera solución que (1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1) y (0,0) son los puntos críticos de f. Con la matriz Hessiana se puede ver que en (1,0), (-1,0) se alcanzan máximos relativos, en (0,1), (0,-1) se alcanzan mínimos relativos y (0,0) es un punto de silla. Vamos a ver que en (1,0), (-1,0) f. alcanza su máximo absoluto, y que en (0,1), (0,-1) f alcanza su mínimo absoluto, por lo que la función alcanza su máximo y mínimo absoluto:
Para ello, hay que ver que
, y que
.
La primera desigualdad es equivalente a . Entonces, como
, basta con ver que
. Si hacemos el cambio de variable
, esta última desigualdad queda
, luego basta con ver que
para todo
. Pero
si
,
si
, por lo que
tiene el mínimo global en el 1, y entonces
, como queríamos.
La segunda desigualdad es equivalente a . Entonces, como
, basta con ver que
, es decir, que
, lo que ya hemos visto para demostrar la primera desigualdad.
una secuencia de números reales positivos tales que
. Halla
donde ln denota el logaritmo neperiano.
(1997-Primer día, Problema 1)
Solución
es una suma de Riemann de
en
, por lo que:
(En la última igualdad hemos aplicado la regla de L’Hopital a la función )
Supongamos que es convergente. ¿Son las siguientes sumas también convergentes?
a)
b)
(1997-Primer día, Problema 2)
Solución
a) Sea y
, donde
es la sucesión que debemos sumar.
Entonces para
. (Ya que entre los términos
y
, se suman todos los términos entre
y
)
Como converge
, donde
, y como
, con
, al ser
convergente, podemos ver que
, ya que
Entonces la suma del apartado a) es convergente.
Otra forma de verlo es: Como y
converge, por lo que
, y como
,
cuando
, se cumple que:
, por lo que
b) No se cumple necesariamente: la suma con
converge por el criterio de Leibniz y la serie del apartado b) no converge.
Otra forma de verlo: Si agrupamos los términos con – y los que tienen +, la serie del apartado b) se puede poner como . Operando ahora impares con pares, queda que esto último es igual a:
. Esto es una serie de términos negativos, pero si consideramos la serie correspondiente de términos positivos, queda que
si
, por lo que:
, serie divergente, por lo que por el criterio de comparación
es divergente, y entonces la serie que nos dan es divergente.
Sea M una matriz invertible de dimensión , representada, en bloques de la siguiente forma:
, y
Demuestra que .
(1997-Segundo día, Problema 2)
Solución
a) Sea la aplicación lineal del espacio
de matrices
con entradas reales, esto es:
(1) para todo
. Prueba que existe una única matriz
tal que
para toda
b) Supongamos además de (1) que
(2) para todas
. Prueba que existe
tal que
para toda
(1997-Segundo día, Problema 4)
Solución
a) Primero probaremos que si C existe, entonces C es única. Después probaremos que la matriz existe.
i) C es única:
Sea una matriz cuyo elemento
vale 1, y con todos los demás elementos 0
Supongamos que tenemos distintas matrices tales que
Entonces:
Por tanto: . Esto da una contradicción, así que hemos probado que C es única.
ii) C existe:
Sea, con
. Como
es lineal:
b) Sabemos que . Además, tenemos que
. Entonces:
, por lo que podemos concluir que:
, si
, y
si
, luego
y
.
Otra forma de acabar: Como y para toda
, tomando
tenemos que
, para todo
, luego los elementos de la diagonal de
son iguales. Por otro lado, tomando
, tenemos que
, para todo
, luego los elementos de fuera de la diagonal principal son 0 y
a) Sea una función continua. Decimos que
“cruza el eje” en
si
y en cualquier entorno de
existen
con
.
Da un ejemplo de una función continua que “cruce el eje” infinitas veces.
(1997-Segundo día, Problema 6)
Solución
es continua ya que
es continua en (0,1] y
ya que
está acotada, y es fácil ver que cruza el eje infinitas veces, cada vez que
, con
: Si
, se cumple que
. Además, para los
tales que
para algún
, es decir, los
tales que
, se cumple que
, acercándose esos intervalos a
cuando
tiende a infinito. Por otro lado, para los
tales que
para algún
, es decir, los
tales que
, se cumple que
, acercándose también esos intervalos a
cuando
tiende a infinito. Por tanto, en cualquier entorno de
habrá puntos en los que la función es positiva y otros en los que es negativa, como queríamos.
La función es dos veces diferenciable con continuidad y satisface que
. Prueba que existe un número real
para el que
(1998-Primer día, Problema 4)
Solución
Sea . Como
es dos veces diferenciable con continuidad,
es continua.
En [0,1] la función alcanza un máximo y un mínimo.
Sea el punto donde se alcanza el máximo. Entonces si
, se cumple que
. (Cabría la posibilidad también de que
, pero en ese caso
, como queríamos)
Sea un punto donde se alcanza el mínimo. Entonces si
, se cumple que
. (Cabe la posibilidad también de que
, pero en ese caso
, como queríamos)
Como dijimos antes, g(x) es una función continua en [0,1], y g(x)<. Si aplicamos el teorema de Bolzano, podemos asegurar que
existe.
Notas:
1) No se han considerado los casos en que el máximo se alcanza en 0 ó el mínimo en 1. En esos casos es importante la condición de los valores de en los extremos, ya que, si quitamos por ejemplo la condición
, puede haber contraejemplos, como la función
, que tiene el máximo en
, el mínimo en
, cumple las otras dos condiciones
,
, pero
. Habrá que ver entonces cuando no hay máximo ó mínimo relativo dentro del intervalo si también se cumple
cuando se dan las condiciones:
2) El problema propuesto en fuera una función continua, sólo que existiera.
Sea P un polinomio de grado n que tiene sólo raíces reales y coeficientes reales.
a) Prueba que para todo real x, se tiene la siguiente desigualdad:
b) Halla los casos en los que se alcanza la igualdad.
(1998-Primer día, Problema 5)
Solución
Sea . Entonces
será
, y
es
. Entonces la desigualdad se puede escribir como:
Ahora tenemos dos secuencias , así que si aplicamos la desigualdad de Chebishev obtenemos:
, como queríamos.
La igualdad se alcanza si y sólo si , esto es si:
,
.
Nota:
La desigualdad de Chebishev es una consecuencia inmediata de la desigualdad de Reagrupamiento
Sea una función continua con la propiedad de que para todo x e y en el intervalo,
a) Demuestra que
b) Encuentra una función que satisfaga la condición para la que se alcance la igualdad.
(1998-Primer día, Problema 6)
Solución del apartado b)
La función ,
, efectivamente cumple las condiciones: si consideramos la función
, con
, tenemos que para cualquier
el máximo absoluto de esa función es 1, ya que
, teniéndose que:
,
,
Se cumple además que , al ser
el área de un cuarto de círculo de radio 1